23-09-08

Declinatie zon in september en oktober

ZuidenDe zomer is voorbij en de zon heeft in deze dagen de grootste haast om naar het zuiden te reizen. Met behulp van regressie op verzamelde data heb ik uitgerekend dat de zon op 23 of 24 september het meest naar het zuiden trekt. Hieronder de grafiek:
 
 
Declinatie van de zon in september en oktober. De afgeleide van de trendlijn zou op 23 of 24 september minimaal zijnHandiger zou het zijn als ik de bijbehorende formules gewoon zou kunnen afleiden. Dat is nog niet zo eenvoudig. Neem bijvoorbeeld de formule om de hoogte van de zon te bepalen aan de hemel:

H = arcsin[cos(D) * cos(B) * cos(wt) + sin(D) * sin(B)]

Waarbij

H - Hoogte zon aan de hemel
D - Declinatie zon in graden
B - Breedtegraad
wt - Tijd op de dag (niet in uren, maar meer in "graden" die de zon van z'n hoogste punt verwijderd is)

Voor alle argumenten in de formule is de irritante omrekenfactor pi/180 nodig om van graden naar radialen te gaan.

Dit is natuurlijk niet de leukste formule om mee te werken, maar het is tenminste iets. Toch zijn niet alle argumenten van de functie even gemakkelijk te bepalen. De breedtegraad is niet zo moeilijk te bepalen. Hij is normaal gesproken constant. Voor Nederland is 52 graden een goede schatting. De wt (eigenlijk omega t) is moeilijker te bepalen. De zon staat 's zomers ongeveer om 13:40 op zijn hoogste punt en 's winters (met wintertijd dus) rond 12:40. Dat is dus de 0 in de functie. De overige tijdstippen zijn dan ook wel om te rekenen.
Nog lastiger is de declinatie. Momenteel is de declinatie ongeveer nul, maar de declinatie is niet constant. In mijn maandartikelen stond de declinatie wel ongeveer vermeld van elke maand. Helaas is het begrip niet heel gemakkelijk uit te rekenen, daarom gebruik ik liever programma's op internet.

Het inkloppen van de getallen is nog een klein klusje, maar dan heb je ook wat. Het leuke is dat je op deze manier ook nog eigenhandig kunt benaderen wanneer de zon opkomt en ondergaat, al zitten daar ook haken en ogen aan.

Declinatie
De formule van zojuist inspireerde me om spelenderwijs tot een formule voor de declinatie van de zon te komen. Daartoe versimpelde ik het model tot een aarde die in exact 360 dagen rond de zon draaide in een perfect cirkelvormige baan. Deze aanname maakte het me wat makkelijker om de volgende formule toe te passen:

D = arcsin(cos a * cos b)

Waarbij

a - (H-90)
H - Hoek die Aarde maakt met lentepunt

b - (90-O)
O - Oriëntatie Aardas

Ik ben trots op deze formule, want ik denk dat-ie wel aardig klopt. Als bewijs de volgende grafiek, waarop de declinatie in het zomerseizoen is te zien. Elke reeks staat voor een andere oriëntatie van de aardas, oplopend van 10 tot en met 90 graden. Op de x-as de hoek met het lentepunt, 0 graden in het begin van de lente en 180 graden in het begin van de herfst.
 
 
Hoe extremer de seizoenen, hoe rechter de lijnen wordenOp Aarde is het wat minder extreem:
 
 
De declinatie van de zon op Aarde wijkt niet veel af van een sinusoïde

Het gebrek aan de formule is dat de harde werkelijkheid zo complex is. Zo duurt een jaar natuurlijk niet precies 360 dagen, om maar iets te noemen. Een groter probleem is echter dat de baan van de aarde geen nette cirkel is. Daardoor zijn er weer kleine afwijkingen, die ik niet weet te compenseren. Misschien komt dat nog.
Als het me lukt kan ik eindelijk zeggen op welke dag de zon het snelst naar het zuidelijk halfrond trekt. ;)

Tot slot nog enkele bestanden. Ze zijn wat rommelig, maar ergens tussen de rommel staat de gebruikte data.


Download Declinatie.xls
Download DeclinatieSeptemberOktober.xls 

Wie zei hier dat piskunde stom was?

Geen opmerkingen:

Een reactie plaatsen